La crisi di $\sqrt{2}$: lo scandalo dei numeri irrazionali
Nella Grecia del VI secolo a.C., la scuola pitagorica viveva secondo un principio dogmatico: «Tutto è numero». Per Pitagora e i suoi seguaci, l'intera struttura del cosmo era spiegabile attraverso i numeri naturali e i loro rapporti, cioè le frazioni (i numeri razionali $\mathbb{Q}$). Credevano fermamente nel principio di commensurabilità: date due grandezze geometriche qualsiasi, era sempre possibile trovare un'unità di misura comune contenuta un numero intero di volte in entrambe.
L'armonia del loro modello fu però infranta da una figura semplicissima: un quadrato di lato
$1$. Applicando il Teorema di Pitagora per calcolarne la diagonale (
$d$), si ottiene:
$$d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
I Pitagorici cercarono di individuare una frazione
$\frac{a}{b}$ (con
$a$ e
$b$ interi) il cui quadrato fosse pari a
$2$. Tuttavia, per quanti tentativi facessero, non riuscirono mai a trovarla.
La svolta teorica avvenne con Ippaso di Metaponto, che dimostrò l'impossibilità di tale frazione mediante una celebre dimostrazione per assurdo:
- Ipotesi: Supponiamo per assurdo che $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, con la frazione ridotta ai minimi termini (cioè $a$ e $b$ senza fattori in comune).
- Passaggi algebrici: Elevando al quadrato si ha $2 = \frac{a^2}{b^2}$, da cui $a^2 = 2b^2$. Poiché $a^2$ è il doppio di $b^2$, allora $a^2$ deve essere un numero pari. Di conseguenza, anche $a$ è pari e si può scrivere come $a = 2k$.
- Sostituzione: Inserendo $a = 2k$ nell'equazione, si ottiene $(2k)^2 = 2b^2 \implies 4k^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2k^2$. Ne deriva che anche $b^2$ è pari, e dunque anche $b$ deve essere pari.
- Contraddizione: Se sia $a$ che $b$ sono numeri pari, la frazione $\frac{a}{b}$ non era ridotta ai minimi termini, contraddicendo l'ipotesi iniziale.
L'ipotesi di partenza era dunque falsa: $\sqrt{2}$ non può essere espresso come frazione.
La scoperta che la diagonale e il lato del quadrato fossero incommensurabili fu uno shock filosofico per i Pitagorici. Il valore di $\sqrt{2}$ presentava un numero infinito di cifre decimali non periodiche ($1{,}41421356...$). La leggenda narra che Ippaso fu punito dagli dèi per aver svelato questo segreto, annegando in mare.
Questa rottura segnò comunque la nascita dei numeri irrazionali ($\mathbb{I}$), indispensabili per completare l'insieme dei numeri reali ($\mathbb{R}$) e fondare la geometria e l'analisi moderna.
Posted by
Mariangela Donniacuo
